易被忽略的解题工具-射影定理

数学学起来是比较难的，有很多的同学在复习的时候也很容易忽略一些知识点，这些知识也是解题常用的。下面一起来看一下学大的专家精心的为大家准备的关于易被忽略的解题工具-射影定理的一些资料，帮助同学们更好的学好数学。

射影定理

直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理)：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式Rt△ABC中，∠ACB=90°,cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：(1)(CD)^2;=AD·DB, (2)(BC)^2;=BD·BA , (3)(AC)^2;=AD·AB 。等积式 (4)ACXBC=ABXCD(可用面积来证明)

所谓射影，就是灯光投影。直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理)：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。[1]

公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

射影定理

(1)BD²=AD·DC，(2)AB²=AD·AC ，(3)BC²=CD·CA。

等积式(4)AB×BC=AC×BD(可用“面积法”或相似来证明) (5)(AB)^2/(BC)^2=AD/CD[1]

直角三角形射影定理的证明

射影定理简图

：(主要是从三角形的相似比推算来的)　一、

在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，

∴∠ABD=∠C，

又∵∠BDA=∠BDC=90°

∴△BAD∽△CBD

∴ AD/BD=BD/CD

即BD²=AD·DC。其余同理可得可证[1]

AB²=AD·AC，BC²=CD·CA

两式相加得：

AB²+BC²=AD·AC+CD·AC =(AD+CD)·AC=AC² .

即勾股定理。[1]　　注： AB²的意思是AB的2次方

已知:三角形中角A=90度,AD是高.

通过上面的学大的专家精心的为大家准备的关于易被忽略的解题工具-射影定理的一些资料，同学们应该花时间掌握住这个定理，这样在以后应用的时候也方便。